Seno e Cosseno – Equação de Onda
Podemos entender melhor as funções seno e cosseno por meio de parâmetros adicionados à função e, posteriormente, usar esse conhecimento para montar uma equação de produzida por essas funções. Vamos focar na função cosseno, pois você vai perceber que a diferença entre ela e a do seno é apenas uma questão de fase. Observe a seguinte equação:
\[ y(x)=A\cos(f x + \phi) \label{eq:cosa} \tag{1}\]
Onde \(A\) é uma constante e representa a amplitude; já \(f\), também uma constante, representa a frequência; \(x\) é a variável e \(\phi\), a constante de fase.
Para se ter uma ideia mais intuitiva da amplitude e da frequência — além do gráfico abaixo — acesse o material interativo sobre a onda sonora e associe esses parâmetros com a mudança do som.
Brinque com os parâmetros no gráfico abaixo e observe como a função cosseno é afetada.
Percebeu que ao mexer na amplitude, a função se alongava ou se contraía no eixo \(y\)? Ou seja, ela fica mais ampla ou menos ampla, por isso o nome de amplitude.
E a frequência \(f\)? Percebeu que ela faz aumentar ou diminuir a quantidade de ciclos completos da onda em um mesmo espaço? Quando um aluno comparece a mais aulas, a frequência dele aumenta. Da mesma forma, quando a onda “comparece” em maior quantidade em um mesmo intervalo espacial, dizemos que a frequência é maior. No caso do eixo horizontal marcar o tempo, então estamos falando de “mesmo intervalo de tempo”.
E quanto à constante de fase, as ondas se movem no eixo \(x\), mantendo os parâmetros de amplitude e frequência intactos. É dessa forma que podemos fazer uma função seno ficar igual ao cosseno e vice-versa.
Agora, podemos usar essas informações para montar uma equação de onda conforme os conceitos da Física. Vejamos!
Vamos adicionar a variável tempo \((t)\). Vimos que a constante de fase faz esse movimento como se fosse a propagação da onda, então vamos usar essa ideia para ser nosso tempo. Mas repare, que ao adicionar a constante de fase, a onda se movimenta para a esquerda. Assim, vamos subtrair o tempo para que ela ande para direita. Mas… vamos ficar sem uma constante de fase? E se precisarmos fazer algum ajuste na onda para se adaptar a alguma condição inicial? Sem problema, vamos mantê-la! Em vez de deixarmos só \((f x - t)\), vamos colocar \((f x - t + \phi)\).
Mas tem mais um porém… Podemos controlar melhor esse tempo, associando com o período \((T)\) (tempo que uma onda leva para um ciclo completo). Para isso, faremos \(\frac{2\pi}{T}t\).
Na amplitude, não mexeremos em nada, mas em relação à frequência, sim. Vimos que a multiplicação na variável altera a frequência em relação a um intervalo espacial, mas, na Física, usamos a frequência em relação ao tempo e usamos a unidade \(Hz\) (hetz), quantidade por segundo no sistema internacional de medidas. Assim, não vamos associar a variável à multiplicação da frequência, mas a uma expressão envolvendo o comprimento de onda \((\lambda)\), o qual mede o comprimento que um ciclo de onda completa possui. Faremos \(\frac{2\pi}{\lambda}x\).
Então, a equação ficaria assim:
\[ y(x,t)=A\cos(\frac{2\pi}{\lambda}x - \frac{2\pi}{T} + \phi) \label{eq:cosb} \tag{2}\]
Repare que agora para encontrarmos a frequência, devemos usar a fórmula:
\[ T = \frac{1}{f} \tag{3}\]
Você pode usar a mesma fórmula, apenas substituindo o cosseno pelo seno e verificar a semelhança.
Código
Atenção: É necessário incluir a biblioteca JSXGraph1 no Head ou no final do Body se você quiser usar esse código. Você pode inserir por meio de CDN como, por exemplo:
<script src='https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jsxgraph/1.5.0/jsxgraphcore.js'></script>.
Licença
Como citar
Notas de rodapé
JSXGraph, https://jsxgraph.uni-bayreuth.de – Licença: https://opensource.org/license/mit/↩︎
Como citar
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date = {2023-03-06},
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