Seno, Cosseno e Tangente – Trigonometria
Material interativo para aprender os conceitos básicos da trigonometria como seno, cosseno e tangente.
Desde a antiguidade (Egito, Babilônia, Grécia, Índia e o mundo árabe), os matemáticos estudam as relações entre as cordas de uma circunferência e, também, os triângulos formados em uma circunferência. Para facilitar, vamos estudar primeiro apenas com as relações em um triângulo retângulo.
A ideia que queremos passar aqui é que essas relações entre os lados de um triângulo retângulo não se alteram, mesmo que você mude o tamanho do triângulo. A única forma de alterar é mudando o valor dos ângulos. Isso se torna muito útil porque podemos construir uma tabela com os valores dessas relações para um tamanho específico de triângulo e essa tabela servirá para todos os triângulos retângulos, o que nos ajudará a resolver problemas mesmo com poucas informações sobre os triângulos que aparecem nesses problemas.
E foi exatamente isso que os matemáticos antigos fizeram. Construíram uma tabela para poder consultar na hora de resolver os problemas. Hoje, a gente usa a calculadora para isso.
Vamos definir essas relações? Observe o triângulo retângulo abaixo, arraste os controles deslizantes para alterar o tamanho do triângulo e observe que os valores do seno, do cosseno e da tangente não se alteram. No entanto, quando você move os controles deslizantes para alterar o ângulo, os valores começam a variar.
Mas o que é seno, cosseno e tangente? Veja após o gráfico.
Definição do Seno, do Cosseno e da Tangente
Primeiro, vamos aprender a nomenclatura dos lados de um triângulo retângulo.
O lado que se opõe ao ângulo de 90º é chamado de hipotenusa. No gráfico acima, é o segmento \(\overline{OA}\). O único que possui uma cor diferente, vermelha.
Já os outros dois lados são chamados de catetos. Um é o cateto adjacente e o outro é o cateto oposto. Determinar qual é qual depende do ângulo que escolhemos para fazer as relações. No caso acima, escolhemos o ângulo \(\alpha\) (\(A\hat{O}P\)), formado pela hipotenusa e pelo cateto \(\overline{OP}\). Dessa forma, $$ é o cateto adjacente ao ângulo \(\alpha\), porque faz parte de sua formação. Já o cateto \(\overline{AP}\) é o oposto por se opor ao ângulo \(\alpha\).
Se tivéssemos usado o ângulo \(O\hat{A}P\), as determinações dos catetos se inverteriam, ficando \(\overline{OP}\) como cateto oposto e \(\overline{AP}\) como adjacente.
Agora, sim, definiremos essas relações por meio da razão entre os lados do triângulo:
\[ \begin{align*} \sin(\alpha) &= \frac{\overline{AP}}{\overline{OA}} = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} \\[3ex] \cos(\alpha) &= \frac{\overline{OP}}{\overline{OA}} = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} \\[3ex] \tan(\alpha) &= \frac{\overline{AP}}{\overline{OP}} = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} \end{align*} \]
Em que \(sen(\alpha)\) é o seno do ângulo \(\alpha\), \(cos(\alpha)\), o cosseno e \(tg(\alpha)\), a tangente. Se definirmos o ângulo \(O\hat{A}P\) como \(\beta\), teremos:
\[ \begin{align*} sen(\beta) & = \frac{\overline{OP}}{\overline{OA}} = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}\\[3ex] cos(\beta) & = \frac{\overline{AP}}{\overline{OA}} = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}\\[3ex] tg(\beta) & = \frac{\overline{OP}}{\overline{AP}} = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} \end{align*} \]
Repare que os segmentos mudam dependendo do ângulo, mas a definição em relação aos catetos e à hipotenusa não sofre alteração; isto é, o seno será sempre cateto oposto sobre a hipotenusa, independente do ângulo tomado como referência. Assim como os demais, cosseno será sempre cateto adjacente sobre a hipotenusa e a tangente, sempre cateto oposto sobre o cateto adjacente. Note que a tangente é o mesmo que fazer o seno sobre o cosseno.
Perceba, ao manipular o gráfico acima, que não haverá seno, cosseno e tangente quando \(\alpha\) for 0º ou 90º, pois não forma um triângulo. Da mesma forma, \(\alpha\) não poderá ser maior que 90º. Mas se você já estudou trigonometria antes, sabe que existe, sim, valores para esses ângulos \(\alpha\) mencionados acima. Para compreender como isso é possível, precisamos aprender sobre o ciclo trigonométrico.
Veja uma aplicação do seno e do cosseno na construção de uma equação de onda.
Aprendendo Trigonometria com a Etimologia
Você sabe de onde vem a palavra cosseno? Ou seja, sua etimologia? Ela significa seno do ângulo complementar. E isso é fácil de verificar! Conforme definimos acima, podemos concluir que eles são ângulos complementares, pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º, logo, se excluirmos o ângulo reto, ficaria 180-90, o que é igual a 90º; ou seja, a soma dos outros dois ângulos de um triângulo reto é igual a 90º e, pela definição, ângulos complementares são aqueles que somados resultam em 90º.
Agora, basta verificar nas definições acima que o cosseno de é igual ao seno de seu complementar, ou seja, exatamente como sua etimologia nos diz.
No material interativo “Seno e Cosseno - Equação de Onda”, você pode ver exatamente como o gráfico da função seno fica igualzinho ao do cosseno quando ajustamos a constante de fase.
Agora… e a palavra seno? Veja sua etimologia!
Código
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Como citar
Notas de rodapé
JSXGraph, https://jsxgraph.uni-bayreuth.de – Licença: https://opensource.org/license/mit/↩︎
Como citar
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