Limite – Noção Intuitiva
Aprender a noção intuitiva de limite é muito mais útil do que aprender a definição formal. Após o surgimento do Cálculo, havia um problema conceitual e, para resolver esse problema, foi criado o conceito de limite. Mas a definição formal desse conceito não é heurística, no sentido de que não serve como método de resolução. Assim, a menos que você seja um matemático, não vale a pena aprender a definição formal e esse material interativo pode lhe ajudar a compreender o conceito de limite de uma forma muito mais intuitiva.
Considere uma função \(y = f(x)\) que tenha o gráfico como mostrado abaixo. Você poderá escolher, dentre os disponíveis, qual valor de \(x\) deseja analisar e depois usar o slider para se aproximar — tanto pela esquerda (valores menores) quanto pela direita (valores maiores) — do valor de \(x\) escolhido. Repare que, no eixo \(x\), existe um segmento vermelho entre dois pequenos triângulos vermelhos e que esse segmento vai diminuindo conforme você se aproxima do valor de \(x\) escolhido.
O interessante desse material é poder observar quando há o limite e quando não há. No eixo do \(y\) também tem um segmento vermelho e que está entre dois losangos vermelhos. Quando o limite existe, esse segmento vai diminuindo conforme você aumenta a aproximação no eixo \(x\) até ele “virar quase um ponto”, ou seja, você observa uma convergência. Isso acontece quando \(x = -2\), por exemplo; veja que os losangos vermelhos fazem um “sanduíche” com o número 1 no eixo \(y\), logo, o limite de \(f(x)\) quando \(x\) se aproxima do -2 é igual a 1.
Já para \(x = -1\), isso não acontece. Os dois losangos não fazem “sanduíche” com nenhum número do eixo \(y\), permanecendo um segmento entre eles. Mas repare que os limites laterais existem. Analise esse gráfico para os outros valores disponíveis e repare, também, que você ainda pode aprender sobre continuidade com ele.
Resultado dos Limites
\(\displaystyle{\lim_{x \to - \infty}} f(x) = - \infty\)
\(\displaystyle{\lim_{x \to -2^-}} f(x) = 1\)
\(\displaystyle{\lim_{x \to -2^+}} f(x) = 1\)
\(\displaystyle{\lim_{x \to -2}} f(x) = 1\)
\(f(-2) \rightarrow \nexists\)
\(\displaystyle{\lim_{x \to -1^-}} f(x) = 4\)
\(\displaystyle{\lim_{x \to -1^+}} f(x) = 4\)
\(\displaystyle{\lim_{x \to -1}} f(x) \rightarrow \nexists\)
\(f(-1) = 5\)
\(\displaystyle{\lim_{x \to 0^-}} f(x) = 0\)
\(\displaystyle{\lim_{x \to 0^+}} f(x) = +\infty\)
\(\displaystyle{\lim_{x \to 0}} f(x) \rightarrow \nexists\)
\(f(0) \rightarrow \nexists\)
\(\displaystyle{\lim_{x \to 2^-}} f(x) = 0,5\)
\(\displaystyle{\lim_{x \to 2^+}} f(x) = 4\)
\(\displaystyle{\lim_{x \to 2}} f(x) \rightarrow \nexists\)
\(f(2) \rightarrow \nexists\)
\(\displaystyle{\lim_{x \to 2\sqrt{3}^-}} f(x) = 0\)
\(\displaystyle{\lim_{x \to 2\sqrt{3}^+}} f(x) = 0\)
\(\displaystyle{\lim_{x \to 2\sqrt{3}}} f(x) = 0\)
\(f(2\sqrt{3}) = 0\)
\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}} f(x) = -\infty\)
Código
Atenção: É necessário incluir a biblioteca JSXGraph1 no Head ou no final do Body se você quiser usar esse código. Você pode inserir por meio de CDN como, por exemplo:
<script src='https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jsxgraph/1.5.0/jsxgraphcore.js'></script>.
Licença
Como citar
Notas de rodapé
JSXGraph, https://jsxgraph.uni-bayreuth.de – Licença: https://opensource.org/license/mit/↩︎
Como citar
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author = {Tavares Juliani, Rafael},
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date = {2023-06-15},
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