Ciclo Trigonométrico e As Funções Seno e Cosseno
Chegou a hora de conhecer o ciclo trigonométrico. No material interativo Seno, Cosseno e Tangente - Trigonometria, vimos algumas limitações de definir seno e cosseno apenas com um triângulo retângulo, pois teríamos problemas com alguns ângulos como 0º, 90º e qualquer outro maior do que 90º. Para eliminar esses problemas, vamos apresentar o ciclo trigonométrico e as funções seno e cosseno.
O ciclo trigonométrico se trata de uma circunferência, de raio 1, colocada nos eixos coordenados. Os valores de seno e cosseno são as coordenas do ponto \(P\), em que o eixo \(x\) representa os valores do cosseno e o eixo \(y\), os do seno. Mas referentes a quais ângulos? O ângulo será sempre aquele formado pelo segmento \(\overline{OP}\) (\(O\) é a origem \((0,0)\)) e o segmento que liga a origem \((0,0)\) e o ponto \((1,0)\).
A rotação no sentido anti-horário aumenta o ângulo, enquanto o sentido horário diminui o ângulo. Dessa forma, o seno e o cosseno também fica definido para valores negativos, quando rotacionamos o ponto \(P\) no sentido horário para baixo do ângulo 0º. Da mesma forma, podemos ter ângulos de qualquer valor, sendo que valores maiores do que 360º (e menores do que -360º) nos indicam que demos mais do que uma volta.
Agora fica fácil montar as funções seno e cosseno em relação ao ângulo. Basta colocar o ângulo como \(x\), variável independente (pertencente ao domínio) e os valores de seno e cosseno, respectivamente, como \(y\), a variável dependente (pertencente à imagem). É comum colocarmos os ângulos em radianos (não em ângulos) no eixo \(x\).
Arraste os controles deslizantes da primeira figura (ciclo trigonométrico) e observe como funciona a dinâmica do ciclo, bem como a dinâmica das funções seno e cosseno, respectivamente.
Ciclo Trigonométrico
Funções Seno e Cosseno, respectivamente
Repare que com o ciclo trigonométrico, você consegue descobrir os valores para seno e cosseno dos ângulos 0º, 90º, 180º, 270º e 360º sem precisar de uma calculadora, pois o ponto \(P\), nesses ângulos, terá, respectivamente, as coordenadas \((1,0)\), \((0,1)\), \((-1,0)\), \((0,-1)\) e \((1,0)\). Lembra que o eixo \(x\) nos fornece o cosseno e o \(y\), o seno? Então… Como exemplo, considere o ângulo 0º, ou seja, o ponto \(P\) tem coordenadas \((1,0)\), logo, o cosseno de 0º é 1 e o seno, 0.
Aprendendo Trigonometria com a Etimologia
Lembra que no material interativo Seno, Cosseno e Tangente - Trigonometria nós explicamos a origem etimológica do cosseno? Chegou a vez do seno. A ideia original dos antigos matemáticos indianos era o comprimento da meia corda (lembre-se que uma corda é o segmento que une dois pontos em uma circunferência). Eles usavam as palavras em sânscrito ardha que significa “meia” (metade) e jya ou jiva, o mesmo que “corda”; assim, formava a palavra ardha-jya ou jyardha.
O matemático Bháskara — esse mesmo da famosa Fórmula de Bháskara — explica que usou jya com o sentido de ardha-jya. A propósito, antes de continuarmos, se você acha errado chamar de Fórmula de Bháskara, veja este vídeo de apenas um minuto:
Voltando para o nosso assunto… Vimos que jya ou jiva ficou sendo usado como o que hoje chamamos de seno, salvo algumas pequenas diferenças como, por exemplo, o raio da circunferência do ciclo trigonométrico não era um valor fixo como usamos hoje. Assim, devido ao sucesso dos trabalhos dos hindus, os árabes passaram a usar jiva. Mas — como em árabe quase não existe vogais e não há o fonema da letra v (fricativa labiodental sonora) — a grafia, em seu alfabeto, ficava algo como jb (جب). Com o tempo, muito provavelmente devido à existência de outra palavra com a mesma escrita no idioma árabe, a pronúncia mudou de jiba para jaib. Essa palavra, já existente no árabe, significa “cavidade”. Assim, os matemáticos europeus traduziram para o latim como “sinus”, palavra que também significa “cavidade”. E foi assim que surgiu o nosso “seno”, perdendo o sentido original de corda ou meia corda, mas só na origem da palavra, pois o mesmo continua sendo uma meia corda.
Veja a figura abaixo para entender o que foi escrito acima. Arraste o ponto \(P\) e observe que a metade da corda \(\overline{PP'}\) é o nosso seno que definimos no ciclo trigonométrico acima.
Você sabia que o som das letras “v” e “f” podem ter surgido devido à disponibilidade de alimentos moles, graças à agricultura? Veja este artigo!
Bibliografia Consultada
Bibhutibhusan Datta & Avadhesh Narayan Singh. Hindu Trigonometry. Indian Journal of History of Science, 18 (1): 39-108 (1983). Disponível em https://linux.ime.usp.br/~bedulli/Datta-Singh\_hindu-trigonometry-1983.pdf. Acessado em 31/03/2023.
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Notas de rodapé
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